Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Setiap hari Anda pasti selalu bercermin, bukan? Apa yang Anda lihat dalam cermin jika Anda sedang bercermin? Benar, yang Anda lihat dalam cermin adalah diri kita sendiri yang wujudnya sama persis dengan aslinya. Dalam matematika hal demrkian berhubungan dengan fungsi komposisi dan fungsi invers. Misalkan kita sebagai himpunan, maka bayangan yang ada dalam cermin sebagai inversdari himpunan tersebut. Hal tersebut adalah salah satu penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers dalam kehidupan nyata. Pelajarilah materi dalam bab ini dengan sungguh-sungguh agar dapat diterapkan dalam kehidupan nyata.
A. Fungsi
1. Pengertian dan Notasi Fungsi
Fungsi dar.i himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepatsatu anggota B. Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f: A -> B (dibaca f memetakan A ke B) dan dinyafakan dengan y = jf(xj.
2. Sifat-Sifat Fungsi
Berdasarkan sifat-sifatnya, fungsi dapat dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut. a. Fungsi Injektif
Fungsi f: A -> B disebut fungsi injektif (satu-satu) jika setiap anggota himpunan A mempunyai kawan yang berbeda di himpunan B. Jika f{x,) = f(x2) maka x, = x2 atau jika /(x,)
b. Fungsi Surjektif
Fungsi f:A->B disebut fungsi surjektif (pada/onto) jika setiap anggota himpunan B mempunyai pasangan di himpunan A atau setiap anggota himpunan daerah kawan mempunyai pasangan di daerah asal.
Contoh Fungsi Bijektif
Fungsi f: A -» B disebut fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) j ika tidak ada satu anggota himpunan B yang dipasangkan dengan dua atau lebih anggota himpunan A. Secara umum f(xj dikatakan fungsi bijektif jika f(x) adalah fungsi satu-satu dan fungsi onto.
Contoh Kerjakan tugas berikut
1. Berikanlah contoh fungsi bijektif dalam permasalahan di kehidupan nyata (minimal 2 contoh).
2. Kumpulkan hasil pekerjaan Anda kepada bapak/ibu guru untuk dinilai.
B. Aljabar Fungsi
Jika f dan g adalah dua fungsi yang terdefinisi pada himpunan R maka operasi aljabar dari fungsi-fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
1. Jumlah fp0 dan g(x) dinyatakan (f+ g)(x) 4 f(x)+ g(x), dengan Df+ g= Dfn Dg
2. Selisih f(x) dan g(x) dinyatakan (f- g)(x) = f(x) - g(x), dengan Df_g= Df n Dg
3. Hasil kali f{x) dan g(x) dinyatakan (f- g)(x) = f(x) • g(x), dengan Df g- Df n D
4. Hasil bagi f(x) dan g(x) dinyatakan (f: g)(x) = f(x): g(x), dengan Dr g- DfnD dan g(x) 0 Contoh:
Diketahui f(x) = 2x-8 dan g(x) - x-4. Tentukan:
a. (f+g)(x) c. (f g)(x)
b. (f-0)(x) d. (f:flf)(x)
Jawab:
a. (f+g)(x) *?f(x) + g(x)
= (2x-8) + (x-4)
= 2x + x-8-4 = 3x-12
b. (f-g)(x) =f(x)~g(x)
= (2x^8)-.(x-4)
= 2x-x-8 + 4
o. (f -9)(x) = f(x) ■ g(x)
= (2x—8)(x—4)
= 2x2- 8x-8x + 32 = 2x2- 16x+ 32 d. (f - 9){x) - f(x): g(x)
2x-8 x -4
2(x-4)
= (x-4)
= 2
mgMiiiiiijffl
Kerjakan sesuai perintahnya!
1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 3-4 orang.
2. Diskusikanlah bersama anggota kelomppkmu.
3. Apakah operasi aljabar pada fungsi berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif?
4. Lakukanlah pengamatan, buatlah laporan, dan berikan kesim pulan dari hasil yang telah diperoleh.
5. Kumpulkan kepada bapak/ibu guru untuk dinilai.
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
h
Jika fsuatu fungsi dari A ke B (f: A -> B) dan g suatu fungsi dari B ke C (g: B -> C), maka h suatu fungsi dari AkeC(h:A-+ C) disebut fungsi komposisi, dan dinyatakan dpngan h = g o f (dibaca “g bundaran f). ,
Dari diagram panah di atas, dapat ditentukan rumus-rumus fungsi komposisi sebagai berikut.
a. (f°g)(x) =%g(x))
b. (g°/)(x) =g(/(x)}
2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Fungsi g dan f dapat dikomposisikan jika daerah hasil dari fungsi f adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g atau dapat dinyatakan dengan Rf<^Dg.
3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Fungsi komposisi merripunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. Tidak komutatif, ig° f)(x)*{fog)(x)
b. Asosiatif, (f°(goh))(x) = |[fog)°h)(x)
c. Terdapat fungsi identitas l(x) = x sedemikian sehingga (f ° /)(x) = (/ ° f)(x) = f{x).
4. Menentukan Komposisi Dua Fungsi atau Lebih Contoh:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g{x) = x-3, dan h(x) = x2-4x + 5. Tentukan:
1 (f*9M d. (go/jXx)
b (g°/)(x) a , (Vofifo/?)(x)
C. (/o/?)(x)
Setiap hari Anda pasti selalu bercermin, bukan? Apa yang Anda lihat dalam cermin jika Anda sedang bercermin? Benar, yang Anda lihat dalam cermin adalah diri kita sendiri yang wujudnya sama persis dengan aslinya. Dalam matematika hal demrkian berhubungan dengan fungsi komposisi dan fungsi invers. Misalkan kita sebagai himpunan, maka bayangan yang ada dalam cermin sebagai inversdari himpunan tersebut. Hal tersebut adalah salah satu penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers dalam kehidupan nyata. Pelajarilah materi dalam bab ini dengan sungguh-sungguh agar dapat diterapkan dalam kehidupan nyata.
A. Fungsi
1. Pengertian dan Notasi Fungsi
Fungsi dar.i himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepatsatu anggota B. Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f: A -> B (dibaca f memetakan A ke B) dan dinyafakan dengan y = jf(xj.
2. Sifat-Sifat Fungsi
Berdasarkan sifat-sifatnya, fungsi dapat dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut. a. Fungsi Injektif
Fungsi f: A -> B disebut fungsi injektif (satu-satu) jika setiap anggota himpunan A mempunyai kawan yang berbeda di himpunan B. Jika f{x,) = f(x2) maka x, = x2 atau jika /(x,)
b. Fungsi Surjektif
Fungsi f:A->B disebut fungsi surjektif (pada/onto) jika setiap anggota himpunan B mempunyai pasangan di himpunan A atau setiap anggota himpunan daerah kawan mempunyai pasangan di daerah asal.
Contoh Fungsi Bijektif
Fungsi f: A -» B disebut fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) j ika tidak ada satu anggota himpunan B yang dipasangkan dengan dua atau lebih anggota himpunan A. Secara umum f(xj dikatakan fungsi bijektif jika f(x) adalah fungsi satu-satu dan fungsi onto.
Contoh Kerjakan tugas berikut
1. Berikanlah contoh fungsi bijektif dalam permasalahan di kehidupan nyata (minimal 2 contoh).
2. Kumpulkan hasil pekerjaan Anda kepada bapak/ibu guru untuk dinilai.
B. Aljabar Fungsi
Jika f dan g adalah dua fungsi yang terdefinisi pada himpunan R maka operasi aljabar dari fungsi-fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
1. Jumlah fp0 dan g(x) dinyatakan (f+ g)(x) 4 f(x)+ g(x), dengan Df+ g= Dfn Dg
2. Selisih f(x) dan g(x) dinyatakan (f- g)(x) = f(x) - g(x), dengan Df_g= Df n Dg
3. Hasil kali f{x) dan g(x) dinyatakan (f- g)(x) = f(x) • g(x), dengan Df g- Df n D
4. Hasil bagi f(x) dan g(x) dinyatakan (f: g)(x) = f(x): g(x), dengan Dr g- DfnD dan g(x) 0 Contoh:
Diketahui f(x) = 2x-8 dan g(x) - x-4. Tentukan:
a. (f+g)(x) c. (f g)(x)
b. (f-0)(x) d. (f:flf)(x)
Jawab:
a. (f+g)(x) *?f(x) + g(x)
= (2x-8) + (x-4)
= 2x + x-8-4 = 3x-12
b. (f-g)(x) =f(x)~g(x)
= (2x^8)-.(x-4)
= 2x-x-8 + 4
o. (f -9)(x) = f(x) ■ g(x)
= (2x—8)(x—4)
= 2x2- 8x-8x + 32 = 2x2- 16x+ 32 d. (f - 9){x) - f(x): g(x)
2x-8 x -4
2(x-4)
= (x-4)
= 2
mgMiiiiiijffl
Kerjakan sesuai perintahnya!
1. Buatlah kelompok yang terdiri dari 3-4 orang.
2. Diskusikanlah bersama anggota kelomppkmu.
3. Apakah operasi aljabar pada fungsi berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif?
4. Lakukanlah pengamatan, buatlah laporan, dan berikan kesim pulan dari hasil yang telah diperoleh.
5. Kumpulkan kepada bapak/ibu guru untuk dinilai.
C. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
h
Jika fsuatu fungsi dari A ke B (f: A -> B) dan g suatu fungsi dari B ke C (g: B -> C), maka h suatu fungsi dari AkeC(h:A-+ C) disebut fungsi komposisi, dan dinyatakan dpngan h = g o f (dibaca “g bundaran f). ,
Dari diagram panah di atas, dapat ditentukan rumus-rumus fungsi komposisi sebagai berikut.
a. (f°g)(x) =%g(x))
b. (g°/)(x) =g(/(x)}
2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Fungsi g dan f dapat dikomposisikan jika daerah hasil dari fungsi f adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi g atau dapat dinyatakan dengan Rf<^Dg.
3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Fungsi komposisi merripunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. Tidak komutatif, ig° f)(x)*{fog)(x)
b. Asosiatif, (f°(goh))(x) = |[fog)°h)(x)
c. Terdapat fungsi identitas l(x) = x sedemikian sehingga (f ° /)(x) = (/ ° f)(x) = f{x).
4. Menentukan Komposisi Dua Fungsi atau Lebih Contoh:
Diketahui f(x) = 2x + 1, g{x) = x-3, dan h(x) = x2-4x + 5. Tentukan:
1 (f*9M d. (go/jXx)
b (g°/)(x) a , (Vofifo/?)(x)
C. (/o/?)(x)
