Menentukan mlai. vanabei pada persamaan dan fungsi kuadrat.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat.
Anda pasti pemah melihat pertandingan sepakboia, baik secara langsung maupun lewatteleyisl PernahkahAnda memperhatikan ketika ada perriain yang menyundul bola? Misalkan, pada sebuah, pertandingan sepakboia salah seorang pemain menyundul bola sehingga bola melambung ke atas dan membentuk lintasan parabola dengan persamaah s(t) = 8t-P. Dapatkah Anda menentukan tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut?
Permasalahan di atas adalah.sateh satu contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan fungsi kuadrat. Untuk dapat menjawab pertanyaan diatas Anda harus memahami mated tentang fungsi kuadrat. Dalam bab iJii, Anda akan belajar tentang konsep persamaan dan fungsi kuadrat serta menerapkannya dalam' menyelesaikan masalah. Untuk lebih jelasnya pelajarilah materi berikut.
A. Persamaan Kuadrat (PK)
1. Persamaan Kuadrat Satu Peubah
Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi dari variabelnya (perubah) adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat sebagai berikut.
ax2 + bx + c = 0 dengan a #0, a, b, c e R
keterangan: a =koefisien x2 koefisienx c - konstanta
Contoh:
a. 2x®+x- 5 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan koefisien x2=2, koefisien x = 1, darv konstanta = -^5.
b. Persamaan 3x-4 = 0 bukan persamaan kuadrat karena persamaan 3x-4 = 0 dapat dlbentuk menjadi persamaan Ox2 + 3x-410, tetapi koefisien x2 adalah nol. Hal ini menunjukkan bahvya persamaan 3x-4 = 0tidak memenuhi ciri-ciri persamaan kuadrat, sebab koefisien x2 adalah 0. Persamaan 3x - 4 = 0 adalah persamaan linear satu peubah.
2. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Cara-cara tersebt antara lain, memfaktorkan, meiengkapkan kuadrat sempuma, dan rumus ABC. a. Pemfaktoran Contoh: *
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 5x-3 = 0 dengan cara pemfaktoran. Jawab:
2x2 + 5x- 3 = 0 o2xa + 6x-x-3 = 0 <=> 2x(x + 3) -1 (x + 3) * 0 o(2x-1)(x + 3) = 0 1
<=>x = — atau x = -3
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 5x- 3 = 0 adalah x= j atau x=-3.
b. Meiengkapi Kuadrat Sempurna Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat x2 - 2x- 8 = 0 dengan meiengkapkan kuadrat sempuma.
Jawab:
x*-2x-8 = 0
Kita ubah ruas kin ke dalam bentuk kuadrat sempuma: x2 - 2x + 1 = 8+1 (x-1)2 = 9
x— 1 = ±3
f x1 = 4 atau x2 =1-2 Jadi, HP = {4, -2}. c. Rumus ABC
Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c=0 dapat diselesaikan dengan rumus: -b±>Jb2 -4ac x“7 . * 2a
Contoh:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 4x® +11 x+6 = 0 dengan menggunakan rumus ABC.
Jawab:
4x*+ 11x+ 6=0 =>a = 4, b=11,c=6 -b ± >Jb2-4ac f| I'’, 2a
- “^1 * Vl12-4»4-6 f-r 2-4 _ -11 ± V121-96 8
_ -11± V25 8
-11 ±5
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 4x2+11x+6 = 0 adalah x= atau x = -2.
3. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai diskriminan (D = d2 - 4ac), Sifat-sifat akar persamaan kuadrat secara lebih terperinci, dapat dilihat seperti tabel di bawah.
No. Sifat Akar Syarat-Syarat
1. Real berlainan (x, * x2) D> 0
2. Real sama D = 0
3. Imaginer (khayal) D< 0
4. Real berlainan dan rasional D > 0 dan D kuadrat sempurna
5. Real berlawanan (xt = -x2) D > 0, b = 0
6. 11 . 1 Real berkebalikan (x1 = —) D > o, a = o
7. xf >0 , Xj> 0 D > 0, X., + x2> 0, xrX2> 0
8. x1 < 0 , x2< 0 0, ^ + x2 < 0, x1 • x2 > 0
9. Real berlainan tanda D > 0, x. • x, < 0
10. Real D > 0
Contoh:
a. Selidiki sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut.
1) 2x* - 5x + 3 = 0
2) 4x2 + 20x + 25 = 0
3) 5x2-4x+ 3 = 0
Jawab: ... « ,
1) 2x2 - 5x + 3 = 0 v
D - tf- 4 ac
= (_5)2_4x 2x3 = 25-24 = 1 >0 3+
D > 0 sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai 2 akar nyata berbeda.
2) 4x2 + 20x + 25 = 0 D ^bP-Aac
= 202 - 4 x 4 x 25.
= 400-400 = 0
0 = 0 sehingga persamaan kuadrat mempunyai 2 akar nyata dan kembar.
3) 5x2-4x+ 3 = 0 D =^-480
= (-4)2-4 x 5x3 = 16-60 = -44 < 0
D < 0 sehingga persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar khayal/tidak mempunyai akar nyata.
b. Tentukan niiai m agar persamaan kuadrat {m +1 )x2 - 2mx + m+ 3-0 memiliki dua akar real yang berbeda.
